Cho 3 duong tron co ban kinh R1, R2, R tiep xua ngoai lan nhau doi mot va tiep xuc voi mot duong thang
Biet R la ban kinh co do dai nho nhat. Tim gia tri nho nhat cua R1.R2 theo do dai R cho truoc
11/08/2012
Sam Phan
Câu trả lời (1)
Gọi A là tiếp điểm của (O) và (O1)
Gọi B là tiếp điểm của (O) và (O2)
Gọi d là đường thẳng đã cho tiếp xúc với (O1) tại M, tiếp xúc (O2) tại N, tiếp xúc (O) tại H
Tiếp tuyến chung của (O) và (O1) tại A cắt MN tại E
Tiếp tuyến chung của (O) và (O2) tại B cắt MN tại F
Giả sử R2 > R1.
Gọi P là chân đường vuông góc hạ từ O1 xuống bán kính O2N
Ta có MNPO1 là hình chữ nhật nên PN = O1M = R1 & MN = O1P
Suy ra O2P = O2N – PN = R2 – R1
Áp dụng đ/lý pitago O1P² = O1O2² – O2P² = (R1 + R2)² – (R2 – R1)² = 4.R1.R2
Suy ra MN² = 4R1.R2 (*)
Mặt khác EA = EH và EA = EM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại E)
Suy ra EH = EM = EA
Ta cũng có EO là phân giác góc AEH suy ra góc AEO = (1/2)góc AEH
và EO1 là phân giác góc AEM suy ra góc AEO1 = (1/2)góc AEM
mà góc AEH + góc AEM = 180° (kề bù)
Nên góc AEO + góc AEO1 = 90°
Hay tam giác OEO1 vuông tại E có EA vuông góc OO1 (tiếp tuyến chung)
Nên theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có EA² = AO.AO1 = R.R1
Hay EA = √(R.R1) suy ra EH = EM = √(R.R1)
Chứng minh tương tự thì FB = FH = FN = √(R.R2)
Do đó MN = MH + HN = 2EH + 2FH = 2√(R.R1) + 2√(R.R2) (**)
Từ (*) và (**) suy ra 4R.R1 + 8R√(R1.R2) + 4R.R2 = 4.R1.R2
<=> R(R1 + R2) + 2R√(R1.R2) = R1.R2 (***)
Áp dụng bđt cauchy thì R1 + R2 ≥ 2√(R1.R2)
Suy ra R1.R2 ≥ 4R√(R1.R2)
<=> √(R1.R2) ≥ 4R
<=> R1.R2 ≥ 16R²
Dấu “=” xảy ra khi R1 = R2 = 4R
Gọi B là tiếp điểm của (O) và (O2)
Gọi d là đường thẳng đã cho tiếp xúc với (O1) tại M, tiếp xúc (O2) tại N, tiếp xúc (O) tại H
Tiếp tuyến chung của (O) và (O1) tại A cắt MN tại E
Tiếp tuyến chung của (O) và (O2) tại B cắt MN tại F
Giả sử R2 > R1.
Gọi P là chân đường vuông góc hạ từ O1 xuống bán kính O2N
Ta có MNPO1 là hình chữ nhật nên PN = O1M = R1 & MN = O1P
Suy ra O2P = O2N – PN = R2 – R1
Áp dụng đ/lý pitago O1P² = O1O2² – O2P² = (R1 + R2)² – (R2 – R1)² = 4.R1.R2
Suy ra MN² = 4R1.R2 (*)
Mặt khác EA = EH và EA = EM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại E)
Suy ra EH = EM = EA
Ta cũng có EO là phân giác góc AEH suy ra góc AEO = (1/2)góc AEH
và EO1 là phân giác góc AEM suy ra góc AEO1 = (1/2)góc AEM
mà góc AEH + góc AEM = 180° (kề bù)
Nên góc AEO + góc AEO1 = 90°
Hay tam giác OEO1 vuông tại E có EA vuông góc OO1 (tiếp tuyến chung)
Nên theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có EA² = AO.AO1 = R.R1
Hay EA = √(R.R1) suy ra EH = EM = √(R.R1)
Chứng minh tương tự thì FB = FH = FN = √(R.R2)
Do đó MN = MH + HN = 2EH + 2FH = 2√(R.R1) + 2√(R.R2) (**)
Từ (*) và (**) suy ra 4R.R1 + 8R√(R1.R2) + 4R.R2 = 4.R1.R2
<=> R(R1 + R2) + 2R√(R1.R2) = R1.R2 (***)
Áp dụng bđt cauchy thì R1 + R2 ≥ 2√(R1.R2)
Suy ra R1.R2 ≥ 4R√(R1.R2)
<=> √(R1.R2) ≥ 4R
<=> R1.R2 ≥ 16R²
Dấu “=” xảy ra khi R1 = R2 = 4R
12/08/2012
Que
Giới thiệu về câu hỏi này
Điểm thưởng cho câu trả lời hay nhất 5 điểm
185 lượt xem
1 câu trả lời đã đăng
x